一、定义域与值域

例1、已知函数

，（1）若的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若的值域为R，求实数a的取值范围。

分析：定义域为R应转化为不等式恒成立问题；而值域为R应转化为函数的值域包含

，即函数值取遍所有的正数。

解析：（1）

的定义域为

对任意

恒成立。当时，不等式化为，显然不合题意；当时，

恒成立

解得。综上可得时，函数的定义域为R。

（2）令

，则函数，的值域为取遍一切正实数值是值域的子集。当时，函数，值域为R；当时，，此时命题解得。综上可得当时，函数的值域为R。

二、值域与范围

例2、如果函数

的值域为，求实数m的取值范围。

分析：

的值恒为非负数是“范围”，而不是“值域”，只要自变量x在定义域内取一切值，所对应的的每一个值都必须大于等于零，但不一定必须取得大于等于零的一切数。而值域为，是指自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数值必须能且只能取到一切大于等于零的数。

解析：

，即

的值域为。由题意，当=0，即或时，函数的值域为。

若此题改为：如果函数

的值恒为非负数，求m的取值范围。

由

恒成立，得，解得，故此时实数m的取值范围是。

本文由济南高中辅导专家济南课外课教育http://www.kwk100.com发表