一、知识梳理
消去法是我们解决具有多个未知数量的问题时经常用到的一种方法。在这类问题中，常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量，并给出不同情形下数量间的关系。通常我们先列出数量关系式，通过分析比较，设法消去一个（或几个）未知数量，从而将问题简化。
消去法解题常用到等式的性质：
等式的两边同时加或减一个数，等式仍然成立。
等式的两边同时乘或除一个数（0除外），等式仍然成立。
例：A＋B＝C＋D等式两边同时乘2，得2（A＋B）＝2（C＋D），即2A＋2B＝2C＋2D.
二、例题精讲
例1丽丽买了3支铅笔和4块像皮擦，共用去5元。欢欢买了同样的6支铅笔和4块像皮擦，共用去8元。铅笔和像皮擦的单价分别是多少元？
分析：题目给出了两种不同的买法，关系式如下：
3支铅笔＋4块像皮擦＝5元 ①
6支铅笔＋4块像皮擦＝8元 ②
想法一：两种买法中，像皮擦的块数是一样的，而铅笔的支数不一样。多买3支铅笔，多用去了8-5＝3（元），所以1支铅笔的价钱是：3÷3＝1（元），从而可计算出1块像皮擦的价钱应是：(5-1×3)÷4＝0.5（元）。
想法二:直接用②－①，等式的左边与左边相减，右边与右边相减，可得，
3支铅笔＝3元，进而可以求出1支铅笔和1块像皮擦的价钱。
解：(8-5)÷(6-3)＝1(元)……铅笔单价
(5-1×3)÷4＝0.5(元)……像皮擦单价
答：每把铅笔0.2元，每把擦皮0.1元。
例2新年联欢会，同学们布置教室买了12个汽球和4袋拉花，共用去20元；发现不够，又去买了8个汽球和2袋拉花，又用去了11元。请你帮忙算一算，汽球和拉花的单价各多少元？
分析：题目给出了两种不同的买法，关系式如下：
12个汽球＋4袋拉花＝20元 ①
8个汽球＋2袋拉花＝11元 ②
对比发现，两个关系相减并不能消去题目中的一个未知量。这种情况下，需要我们先将两个关系式中的某一个转化条件，然后再相减。①式中是4袋拉花，②式中是2袋拉花，只要将②式的等号两边同时乘以2，即可得到如下算式：
16个汽球＋4袋拉花＝22元 ③
③－①可将拉花消去，得4个汽球＝2元，进而可求出汽球的单价和拉花的单价。
解：（11×2－20）÷（8×2－12）＝2÷4＝0.5（元）汽球单价
（11－8×0.5）÷2＝7÷2＝3.5（元）拉花单价
答：汽球每个0.5元，拉花每袋3.5元。
探究：如果要消去汽球数量，该如何转化条件，怎样解题？
例3学校组织夏令营，五六两个年级共220参加，五年的同学坐满了5辆相同座位的中巴车，六年级同学坐满了4辆相同座位的大巴车，如果将中巴车和大巴车对调一辆，则五六两个年级同学人数相等。请问每辆中巴车和大巴车各乘坐多少人？
分析：此题与前面两个例题有所区别，题目中没有两个非常明显的数量关系。但从“将中巴车和大巴车对调一辆，则五六两个年级同学人数相等”这个已知条件中，我们可以知道：五年级学生坐4辆中巴＋1辆大巴＝110人，六年级学生坐1辆中巴＋3辆大巴＝110人。这样就把原题转化为与例2类似的一般性问题了。
解： （110×3-110）÷（4×3-1）＝20（人）中巴车可乘坐人数
110-20×4＝30（人）大巴车可乘坐人数
答：中巴车可乘坐20人，大巴车可乘坐30人。
专题特训：
1、5瓶果汁、6瓶酸奶共重139千克；5瓶酸奶、6瓶果汁共重125千克。问果汁和酸奶每瓶各重多少千克？
2、某天公园里早锻炼的有老人、青年和儿童三种人，有15人不是老年人，有18人不是青年人，有23人不是儿童。这天公园里参加早锻炼的人中，老年人、青年人、儿童各有多少人？
3、有红、黄、蓝三种笔，1支红笔、3支黄笔、2支蓝笔共17元；2支红笔、4支黄笔、3支蓝笔共26元；3支红笔、2支黄笔、1支蓝笔共20元。每种颜色的笔的单价各是多少元？
4、甲乙两人加工零件。甲做4小时，乙做6小时，则共加工零件196个；甲做7小时，乙做3小时，则共加工零件208个。甲乙两人每小时各加工多少个零件？
5、某次测验，A、B、C、D四位同学的成绩作如下统计：A、B、C的平均分为94分；B、C、D的平均分为92分；A、D的平均分为96分。求A得了多少分？
6、有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。问其中最轻的箱子重多少千克？
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参考答案 |
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1、解：根据已知条件可知，11瓶果汁和11瓶酸奶共重（139＋125）千克，可知1瓶果汁和1瓶酸奶共重多少千克，即 （139+125）÷11＝24（千克） 那么，5瓶果汁和5瓶酸奶共重 24×5＝120（千克） 一瓶酸奶重：139－120＝19（千克） 一瓶果汁重：125－120＝5（千克）。 答：每瓶果汁5千克，每瓶酸奶19千克。 2、解：根据已知条件可知， 青年＋儿童＝15人① 老人＋儿童＝18人② 老人＋青年＝23人③ ②－①得， 老人－青年＝3人④ ④＋③得， 2老人＝23＋3 老人：26÷2＝13（人）。 青年：23－13＝10（人）。 儿童：15－10＝5（人）。 答：老人13人，青年10人，儿童5人。 3、解：整理得， 1红＋3黄＋2蓝＝17元① 2红＋4黄＋3蓝＝26元② 3红＋2黄＋1蓝＝20元③ ②－①得， 1红＋1黄＋1蓝＝9元④ ④＋③得， 4红＋3黄＋2蓝＝29元⑤ ⑤－①得 3红＝12元， 红笔单价：12÷3＝4（元） ③－④得， 2红＋1黄＝11元 黄笔单价：11－4×2＝3（元） 蓝笔单价：9－4－3＝2（元） 答：红笔4元，黄笔3元，蓝笔2元。 解法不唯一。 4、解： 甲每小时加工个数： （208×2－196）÷（14－4） ＝220÷10 ＝22（个） 乙每小时加工个数： （196－22×4）÷6 ＝18（个） 答：甲每小时加工22个，乙每小时加工18个。 5、解：根据题意得， A＋B＋C＝94×3 ① B＋C＋D＝92×3 ② A＋D＝96×2 ③ ①－②得， A－D＝6 ④ ③＋④得， 2A＝192＋6 A＝198÷2＝99（分） 答：A得了99分。 6、解：设三个箱子分别为A、B、C，根据题题可得， A＋B＝83千克① B＋C＝85千克② A＋C＝86千克③ ②－①得， C－A＝2千克④ ③＋④得， 2C＝88千克 C：88÷2＝44（千克） A：44－2＝42（千克） B：83－42＝41（千克） 答：最轻的箱子重41千克。 |
二、应用题的解题方法与技巧（逆推法）
一.知识梳理
逆推法是一种很常用的数学方法，它是根据变化后的结果，一步一步进行逆向推理，逐步推出原来的已知条件，从而使问题得到解决。
逆推法常用到的画线段图和列表的方法解决问题。
二.例题精讲
【例1】某数加上8，减去4，乘以2，除以6，等于10，这个数是多少？
这题计算结果对不对？应验算，自己试试。
说明：用逆推法解题，要注意以下几点：
（1）从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减、变减为加，变乘为除，变除为乘．
（2）列式时要注意运算顺序，正确使用括号．
【例2】幼儿园将一批苹果分给大、中、小三个班，大班分得总个数的一半多20个，中班分得余下的一半多20个，最后把剩下的60个全部给了小班，求这批苹果一共有多少个?
分析：通过看图要明确以下问题：如果中班只分得余下的一半，那么小班应该分多少个？大班分后还剩多少个？总个数的一半是多少个？
我们先画示意图表示题意：
解（1）如果中班只分得余下苹果的一半，那么小班应分多少个苹果?
60+20=80（个）
（2）大班分后还剩多少个苹果?
80×2=160（个）
（3）苹果总数的一半是多少个?
160+20=180（个）
（4）这批苹果一共有多少个?
180×2=360（个）
答：这批苹果一共有360个．
【例3】甲、乙、丙三人各有连环画若干本．如果甲给乙5本，乙给丙10本，丙给甲15本，那么三人所有的连环画都是35本，他们原来各有多少本?
分析：从题目的条件可知，甲、乙、丙三人经过了三次交换，第三次交换后，甲、乙、丙三人都有连环画35本．解答时，可以从第三次交换后开始逆推．
解 根据题意列表如下：
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甲 |
乙 |
丙 |
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最后结果 |
35 |
35 |
35 |
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第三次交换前 |
35-15=20 |
35 |
35+15=50 |
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第二次交换前 |
20 |
35+10=45 |
50-10=40 |
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第一次交换前（原来） |
20+5=25 |
45-5=40 |
40 |
答：甲、乙、丙三人原来各有书25本、40本、40本。
小结：逆推法是一种常见的思考方法，它是从问题的最后结果一步一步倒着推，最后得出所求的答案。
三.专题特训
1．一个数减去2487，小明在计算时错把被减数百位和十位上的数交换了，结果得8439，正确的结果是多少?
2.一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，最后还剩22米，这捆电线原来有多少米？
3．三只金鱼缸里共有15条金鱼，如果从第一缸里取出2条金鱼放入第二缸，再从第二缸取出3条金鱼放人第三缸，那么三只金鱼缸里的金鱼就一样多．求原来每只金鱼缸里各有多少条金鱼?
4．学校乒乓球队有三盒乒乓球．王教练从第一盒中取出12只放入第二盒，又从第二盒中取出18只放入第三盒，再从第三盒中取出27只放入第一盒，这时三盒乒乓球都是80只．求原来三个盒子里各有多少只乒乓球?
5．甲、乙、丙三个组共有图书90本．如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组所有图书刚好相等，问甲、乙、丙三个组原有图书多少本?
6．A、B、C三个油桶各盛油若干千克、第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样各桶的油都为16千克．A、B、C三个油桶原来各有油多少千克?
7．一个箱子里放着一些茶杯，有一个小朋友从箱子里往外拿茶杯，拿的规则是，每次都要拿箱子里茶杯总数的一半，然后再放回一个，就这样这个小朋友一共拿了597次之后，这时箱子里有2个茶杯．那么刚开始时箱子里有多少个茶杯?
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参考答案 |
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1．8439+2487-(700-70)-2487=7809 答：正确结果为7809． 2.根据题意画线段图： （米） 是第二次用去后余下的一半 （米） 是第一次用去后余下的电线长度。 （米） 是全长的一半 （米） 是原来电线的长度。 3．15÷3=5（条） 5+2=7（条） 5-2+3=6（条） 5-3=2（条） 答：原来第一缸有金鱼7条，第二缸有6条，第三缸有2条． 4．80+12-27=65（只） 80-12+18=86（只） 80-18+27=89（只） 答：原来第一盒有65只，第二盒有86只，第三盒有89只． 5．根据题意列下表：
答：甲组有33本书，乙组有32本书，丙组有25本书。 6．根据题意列下表：
答：A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克． 7．在596次后，箱中还剩(2-1)×2=2（个）杯子 在595次后，箱中还剩(2-1)×2=2（个）杯子 …… 由此可知：刚开始时箱子里有2个茶杯． |
三、应用题的解题方法与技巧专题训练（假设法）
一、知识梳理。
“假设法”是解决数学问题的一个重要思想方法。它是根据题目中的已知条件或结论做出某种假设，然后根据假设进行推算，对数量上出现的矛盾进行适当调整，进而找到正确答案。
二、例题精讲。
例1、知识竞赛，共有25题，答对一题得4分，答错或不答每题扣1分。聪聪得了75分，你知道他答对了几道题吗？
分析：假设聪聪全答对了，那么聪聪能得到（25×4＝100）分；但与已知条件中的“聪聪得了75分”矛盾，为什么会出现矛盾呢？因为聪聪有答错的题，而每把一道答错的题看成答对的题会相差（4＋1＝5）分，假设后所得分数与原来分数相差（100－75＝25）分，用相差的总分数÷每道题相差的分数＝答错的题数，进而可求出答对的题数。
解：25×4＝100（分）
100－75＝25（分）
4＋1＝5（分）
25÷5＝5（道）
25－5＝20（道）答：他答对了20道题。
关键：要知道假设后为什么会与原题相矛盾，利用矛盾解题。
例2、希望小学为冬季取暖买了一批煤，女老师两人用一根扁担抬一筐煤，男老师每人用一根扁担挑两筐煤，老师们共用了23根扁担，40个筐，请问希望小学有男女老师各几人？
分析：假设23根扁担都是男老师用，则需要（23×2＝46）个筐，比实际情况多（46－40＝6）个筐，矛盾。多个6筐的原因是把女老师用的扁担也看成了男老师用了，一根扁担男老师比女老师多用（2－1＝1）个筐，6÷1＝6，所以把6根扁担看成是男老师用了，即女老师用了6根扁担；23－6＝17，男老师用了17根扁担。根据已知条件“女老师两人用一根扁担抬一筐煤，男老师每人用一根扁担挑两筐煤”，可求男女老师各几人。
解：23×2＝46（个）
46－40＝6（个）
6÷1＝6（根）女老师用扁担数
23－6＝17（根）男老师用扁担数
6×2＝12（人）女老师人数
17÷1＝17（人）男老师人数 答：女老师12人，男老师17人。
探究：假设23根扁担都是女老师用的，该如何分析解题？
例3、有六个谜语，让50人猜，有202人次猜对（每人猜对一个是一人次）。现在知道每人至少猜对2个，且猜对2个的有5人，猜对4个的有9人，猜对3个和5个的人数一样多。那么6个全猜对的有多少人？
先将已知条件整理，2×5＝10（个），4×9＝36（个），202－10－36＝156（个）；50－5－9＝36（人）；原题可转变为：有六个谜语，36人猜，有猜对3个、5个和6个的，共156人次猜对，猜对3个和5个的人数一样多。那么6个全猜对的有多少人？
分析：先将已知条件“猜对3个和5个的人数一样多”转化成“猜对4个的人”，然后再应用假设法解题，假设36人都猜对了4个，那么共猜对了（36×4＝144）个，一共比实际情况少了（156－144＝12）个，矛盾。原因是把猜对6个的人也看成了猜对4个了，一个人少算了（6－4＝2）个，12÷2＝6（人）即6个全猜对的有6人。
解：202－2×5－4×9＝156（个）
50－5－9＝36（人）
（3＋5）÷2＝4（个）
36×4＝144（人）
156－144＝12（个）
12÷（6－4）＝6（人）。 答：6个全猜对的有6人。
关键：将已知条件“猜对3个和5个的人数一样多”转化成“猜对4个的人”，这样结果无变化。
探究：猜对3个和5个的有多少人？
三、专题特训。
1、植树节到了，一年级和六年级的学生分成一组给校园里的树浇水，两个年级共有学生120人，一年级学生两人抬一桶水，六年级学生每人提两桶水，两个年级的学生一次共浇水180桶，则六年级学生有多少人？
2、某运输公司为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个玻璃杯运费为1元，如果打碎1个，运输公司不但得不到1元运费，而且要赔偿3元。结果，当玻璃杯运到目的地时，运输公司一共得到了运费920元。那么，打碎了几个玻璃杯呢？
3、松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个，它一连8天采了112个松子，问这几天中晴天、雨天各多少天？
4、学校有50名学生参加冬季长跑锻炼身体，跑了100天，共跑了2240千米，男生平均每天跑500米，女生平均每天跑400米，请问参加冬季长跑的男生和女生各是多少人？
5、有龟和鹤两种动物，其中鹤比龟多26只，共有178只脚，则两种动物各有多少只？
6、鸡和兔共有脚132只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚114只，问原来有鸡和兔各多少只？
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参考答案 |
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1、解：“一年级两人抬一桶水”可以转化为“一年级一人提0.5桶水”，然后再解题。 120÷2＝60（桶）； 180－60＝120（桶）； 1÷2＝0.5（桶）； 2－0.5＝1.5（桶）； 120÷1.5＝80（人）。答：六年级有学生80人。 2、解： 1×1000=1000（元）； 1000－920=80（元）； 1＋3=4（元）； 80÷4=20（个）。答：损坏了20个杯子。 3、解：“假设8天都是睛天”可得， 20×8＝160（个）； 160－112＝48（个）； 20－12＝8（个）； 48÷8＝6（天），雨； 8－6＝2（天），晴。答：6天是雨天，2天是晴天。 4、解：全班同学平均每天跑2240÷100＝22.4（千米）；500米＝0.5千米，400米＝0.4千米；“假设50人全是女生”，可得： 0.4×5＝20（千米）； 22.4－20＝2.4（千米）； 0.5－0.4＝0.1（千米）； 2.4÷0.1＝24（人），男； 50－24＝26（人）女。答：男生24人，女生26人。 5、“假设鹤与龟的只数一样多”那么一共有脚176－26×2＝126（只）；每一对龟鹤共有脚2＋4＝6（只）； 龟的只数是：126÷6＝21（只）； 鹤的只数是：21＋26＝47（只）； 6、因为鸡数与兔数互换，所以就有原来的鸡脚数的2倍与原 分享到： 网友评论文明上网理性发言，请遵守新闻评论服务协议 |
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